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El problema de Basilea resuelto con series de Fourier — cada paso explicado

Pregunta

Encuentra la suma de la serie:
∑n=1∞1n2  =  1+14+19+116+⋯\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \;=\; 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots

Solución

π26\dfrac{\pi^2}{6}
1
Consideremos f(x)=x2f(x) = x^2 en (−π, π)(-\pi,\,\pi). Su expansión en serie de Fourier:
f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n \cos nx + b_n \sin nx\bigr)
2
Como f(x)=x2f(x) = x^2 es par, todos los bn=0b_n = 0. Calculando los coeficientes:
a0=2π23,an=4(−1)nn2a_0 = \frac{2\pi^2}{3}, \qquad a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}
3
Sustituyendo obtenemos la serie de Fourier para x2x^2:
x2=π23+4∑n=1∞(−1)ncos⁡nxn2x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\cos nx}{n^2}
4
Sustituimos x=πx = \pi. Como cos⁡(nπ)=(−1)n\cos(n\pi) = (-1)^n:
π2=π23+4∑n=1∞(−1)n⋅(−1)nn2=π23+4∑n=1∞1n2\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{(-1)^n}{n^2} = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
5
Aislamos la suma:
4∑n=1∞1n2=π2−π23=2π234\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \pi^2 - \frac{\pi^2}{3} = \frac{2\pi^2}{3}
6
Dividimos ambos lados entre 44:
  ∑n=1∞1n2=π26  \boxed{\;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\;}

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“¡Me salvó en los exámenes finales! Las soluciones paso a paso de cálculo eran justo lo que necesitaba para entender el material.”

James R.

James R.

Universidad, 2.º año

“Dibujo ecuaciones en la pizarra y obtengo soluciones al instante. Mucho mejor que esperar a un tutor.”

SL

Sarah L.

Preparatoria, 11.º grado

“La función de gráficas me ayudó a visualizar funciones y finalmente entender derivadas de forma intuitiva.”

Wei C.

Wei C.

Universidad, 1.er año

“Subí un problema del libro de texto — obtuve una solución detallada en 5 segundos. ¡Pura magia!”

Priya M.

Priya M.

Preparatoria, 10.º grado

“Se lo recomiendo a mis estudiantes para estudiar por su cuenta. Las explicaciones paso a paso coinciden con cómo enseño en clase.”

Dr. Anderson

Dr. Anderson

Profesor

“El álgebra lineal me estaba matando. Ahora resuelvo matrices y sistemas en segundos con explicaciones completas.”

Sofía K.

Sofía K.

Universidad, 3.er año

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