Math Solver

AI Math Solver
Понимай каждый шаг

Подробные пошаговые объяснения — не просто ответы

Формулы

Смотри, как это работает

Задача Базеля, решённая с помощью рядов Фурье — с объяснением каждого шага

Вопрос

Найдите сумму ряда:
∑n=1∞1n2  =  1+14+19+116+⋯\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \;=\; 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots

Решение

π26\dfrac{\pi^2}{6}
1
Рассмотрим f(x)=x2f(x) = x^2 на (−π, π)(-\pi,\,\pi). Разложение в ряд Фурье:
f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n \cos nx + b_n \sin nx\bigr)
2
Так как f(x)=x2f(x) = x^2 — чётная функция, все bn=0b_n = 0. Вычислим коэффициенты:
a0=2π23,an=4(−1)nn2a_0 = \frac{2\pi^2}{3}, \qquad a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}
3
Подставляя, получаем ряд Фурье для x2x^2:
x2=π23+4∑n=1∞(−1)ncos⁡nxn2x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\cos nx}{n^2}
4
Подставим x=πx = \pi. Так как cos⁡(nπ)=(−1)n\cos(n\pi) = (-1)^n:
π2=π23+4∑n=1∞(−1)n⋅(−1)nn2=π23+4∑n=1∞1n2\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{(-1)^n}{n^2} = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
5
Выделим сумму:
4∑n=1∞1n2=π2−π23=2π234\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \pi^2 - \frac{\pi^2}{3} = \frac{2\pi^2}{3}
6
Разделим обе части на 44:
  ∑n=1∞1n2=π26  \boxed{\;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\;}

Мощные математические инструменты

Всё, что нужно для решения и понимания математики

Онлайн-репетитор по математике помогает студентам пошагово решать задачи по алгебре и математическому анализу

Онлайн-репетитор по математике

Застрял на сложной задаче? Получи помощь от проверенного эксперта по математике — живой человек, а не бот.

450+ проверенных репетиторов по математике онлайн
Среднее время ответа — менее 2 минут
Индивидуальная помощь, пока ты полностью не разберёшься
От алгебры до высшей математики, 24/7

Почему студенты нас любят

<0s

Время ответа

0 steps

Средняя глубина объяснения

0%

Точность решений

A+

Улучшение оценок

Нам доверяют более 10 000 студентов

Узнай, почему студенты и преподаватели нас любят

“Спас меня на сессии! Пошаговые решения по матанализу — именно то, что мне нужно было для понимания материала.”

Джеймс Р.

Джеймс Р.

Колледж, 2-й курс

“Рисую уравнения на доске и получаю мгновенные решения. Намного лучше, чем ждать репетитора.”

SL

Сара Л.

Школа, 11 класс

“Функция графиков помогла мне визуализировать функции и наконец-то интуитивно понять производные.”

Вэй Ч.

Вэй Ч.

Университет, 1-й курс

“Загрузила задачу из учебника — получила подробное решение за 5 секунд. Настоящая магия!”

Прия М.

Прия М.

Школа, 10 класс

“Рекомендую своим студентам для самостоятельного изучения. Пошаговые объяснения совпадают с тем, как я объясняю на лекциях.”

Д-р Андерсон

Д-р Андерсон

Профессор

“Линейная алгебра меня добивала. Теперь решаю матрицы и системы за секунды с полными объяснениями.”

София К.

София К.

Колледж, 3-й курс

Начни решать бесплатно

Зарегистрируйся и получи 3 бесплатных решения. Банковская карта не нужна.

Попробовать бесплатноПосмотреть тарифы