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Fórmulas

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Problema de Basileia resolvido usando séries de Fourier — com cada passo explicado

Pergunta

Encontre a soma da série:
∑n=1∞1n2  =  1+14+19+116+⋯\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \;=\; 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots

Solução

π26\dfrac{\pi^2}{6}
1
Considere f(x)=x2f(x) = x^2 em (−π, π)(-\pi,\,\pi). Sua expansão em série de Fourier:
f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n \cos nx + b_n \sin nx\bigr)
2
Como f(x)=x2f(x) = x^2 é par, todos os bn=0b_n = 0. Calculando os coeficientes:
a0=2π23,an=4(−1)nn2a_0 = \frac{2\pi^2}{3}, \qquad a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}
3
Substituindo, obtemos a série de Fourier para x2x^2:
x2=π23+4∑n=1∞(−1)ncos⁡nxn2x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\cos nx}{n^2}
4
Substitua x=πx = \pi. Como cos⁡(nπ)=(−1)n\cos(n\pi) = (-1)^n:
π2=π23+4∑n=1∞(−1)n⋅(−1)nn2=π23+4∑n=1∞1n2\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{(-1)^n}{n^2} = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
5
Isole a soma:
4∑n=1∞1n2=π2−π23=2π234\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \pi^2 - \frac{\pi^2}{3} = \frac{2\pi^2}{3}
6
Divida ambos os lados por 44:
  ∑n=1∞1n2=π26  \boxed{\;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\;}

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James R.

James R.

Faculdade, 2º ano

“Eu desenho equações no quadro e recebo soluções na hora. Muito melhor do que esperar por um professor particular.”

SL

Sarah L.

Ensino médio, 2º ano

“O recurso de gráficos me ajudou a visualizar funções e finalmente entender derivadas de forma intuitiva.”

Wei C.

Wei C.

Universidade, 1º ano

“Enviei um problema do livro — recebi a solução detalhada em 5 segundos. Pura magia!”

Priya M.

Priya M.

Ensino médio, 1º ano

“Eu recomendo pros meus alunos pra estudo autônomo. As explicações passo a passo combinam com o jeito que eu ensino em aula.”

Dr. Anderson

Dr. Anderson

Professor

“Álgebra linear tava acabando comigo. Agora eu resolvo matrizes e sistemas em segundos com explicações completas.”

Sofia K.

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Faculdade, 3º ano

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